Физики разработали сеть с пассивным фильтрованием шума

Физики из США и Германии теоретически показали, что из осцилляторов с произвольными параметрами можно построить такую сеть, которая будет пассивно выравнивать определенные типы шумов. Оказалось, что для выравнивания сильно скоррелированных шумов сеть должна быть плотной, а для слабо скоррелированных шумов — разреженной. В последнем случае строение сети напоминает прожилки листа. Статья опубликована в Physical Review Letters, кратко о ней сообщает Physics, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.

Сети повсеместно встречаются в природе и технике — например, водопроводная и электрическая сеть доставляют в наши дома воду и электроэнергию, а нервная и сердечно-сосудистая система проводят нейронные импульсы и снабжают клетки кислородом. Очень часто потоки на концах сети не постоянны, но меняются во времени и пространстве. Из-за этого эффективность сети снижается, а при особенно сильных перепадах она может не справиться с перегрузкой и выйти из строя. Известным примером отказа сети из-за неравномерной нагрузки может служить блэкаут — нарушение работы электросети в результате аварии. Другой хороший пример — это тиннитус (звон в ушах), который также возникает из-за неравномерной нагрузки на слуховую сенсорную систему.

В настоящее время инженеры умеют выравнивать неравномерный сигнал, поступающий на входы сети, с помощью систем активного контроля. Например, системы активного шумоподавления накладывают на звуковые колебания волны с такой же амплитудой и частотой, но противоположной фазой, тем самым выравнивая сигнал. Тем не менее, несколько лет назад ученые обнаружили, что некоторые устройства умеют пассивно выравнивать сигнал — в частности, такими способностями обладает изолированный осциллятор. К сожалению, до сих пор физики не могли перенести эти свойства на случай сети, которая перераспределяет нагрузку между узлами. Если бы исследователям это удалось, они смогли бы во много раз повысить стабильность сетей без больших финансовых затрат.

Группа ученых под руководством Хенрика Ронелленфича (Henrik Ronellenfitsch) теоретически показала, что из затухающих осцилляторов с произвольными параметрами всегда можно построить такую сеть, которая будет пассивно выравнивать сигнал, подаваемый на ее входы. Единственное условие, которое физики накладывали на коэффициенты — это симметричность; другими словами, ученые считали, что в каждой паре осцилляторы одинаково откликаются на воздействие со стороны соседа (конечно, если эти узлы связаны между собой). Выравнивающие способности такой сети определяются усредненным по времени квадратом отклонения положения осцилляторов от равновесных значений. Теоретически, эту величину можно сделать сколь угодно малой, неограниченно увеличивая коэффициенты связи между всеми узлами. Фактически, в этом пределе покоящиеся осцилляторы немедленно «гасят» колебания соседей, на которые поступает случайный сигнал. Тем не менее, на практике неограниченного усиления достичь невозможно. Поэтому ученые наложили на коэффициенты дополнительное условие постоянной стоимости — предположили, что затраты на создание связи пропорциональны степени α от ее силы, а суммарная стоимость сети не должна превышать определенной суммы, пропорциональной количеству ее узлов.

Исходя из таких предположений, ученые разработали алгоритм, который итеративно (шаг за шагом) строит сеть, выравнивающую некоторые типы шумов. Для определенности исследователи рассматривали треугольные сетки и полагали число узлов равным 100. Такой алгоритм начинает с произвольной конфигурации связей между узлами, а потом присоединяет к ним новые узлы или отсоединяет старые, минимизируя стоимость и средний квадрат отклонения осцилляторов. Вообще говоря, для этого нужно решать систему дифференциальных уравнений или вычислять след от произведения матриц, описывающих шум и граф системы (формализм Ланжевена). Для простоты ученые считали, что пространственная и временна́я зависимости шумов расщепляются, то есть не влияют друг на друга. В качестве временно́го шума физики выбрали шум Орнштейна—Уленбека (Ornstein-Uhlenbeck noise), а в качестве пространственного — гауссов шум. Первый тип шума определяется корреляционным временем τ, второй — корреляционной длиной σ. В пределе τ → 0 или σ → 0 корреляции в обоих типах шума полностью пропадают.

В результате ученые обнаружили, что в зависимости от значений параметров τ, σ и α связи сети выстраиваются в одну из трех основных картин. Если шумы сильно скоррелированы во времени или пространстве (то есть параметры τ и σ не малы), то сеть получается сильно разреженной. В этом случае поток стекается по «узким» каналам слабой связи к «широкому» каналу сильной связи, который замыкается сам на себя. В результате получается картина связей, которая напоминает прожилки листа. С другой стороны, если шумы скоррелированы слабо, поток распространяется по плотной системе узких каналов. В обоих случаях системы эффективно подавляли шумы, практически до нуля снижая средний квадрат отклонений осцилляторов от равновесного значения.

Ученые объясняют эти различия тем, что эффективность фильтрации шума зависит от того, насколько хорошо система сравнивает и усредняет амплитуды колебаний узлов. Если шум сильно скоррелирован, то осцилляторы колеблются практически синхронно, и соединять их плотной сетью бессмысленно. Гораздо выгоднее проложить «широкий» канал и подавлять шумы по пути к нему. В то же время, для некоррелированных шумов нужно учитывать связи между больши́м числом осцилляторов, чтобы корректно усреднить сигнал, и сеть получается гораздо более плотной.

В ноябре прошлого года американские математики показали, что переменные сети быстрее достигают управляемости, а также требуют меньше энергии для ее поддержания, чем статичные сети. Управляемая сеть — это сеть, в которой можно централизованно управлять состоянием каждого из узлов; в переменной сети узлы постоянно создают и разрушают связи, а в статической сети положение связей не меняется со временем. А в июле 2015 года математик Филиппо Радикки (Filippo Radicchi) разработал математический аппарат, позволяющий применить теорию перколяции (протекания) для оценки устойчивости и уязвимости транспортных сетей без использования сложных и дорогостоящих компьютерных симуляций.